【湖畔光影】数学校本研修之阅读分享（63）

又到了本周一次的数学阅读分享，本周给大家分享的是孟圆老师，分享的内容是《数学的新精神、新思想、新方法的好范例》第三编第二章第5、6节。

第5节《解决平行线问题所产生的的影响》，主要讲述了公理组能构成一门演绎科学的基础，必须满足3个条件：条件一，属于这一公理组的各个公理以及由它们演绎出的定理，相互之间不可发生矛盾；条件二，属于这一公理组的各个公理，彼此应该是相互独立的，即其中任一公理都不能由其他公理证明；条件三，属于这一公理组的公理，作为构成我们要建立的那门科学的基础，应该是充分的。

同时还讲述了无定义术语组必须满足3个条件：条件一，这个无定义术语组中的术语，每一个都是建立几何学所必不可少的；条件二，这个无定义术语组中的术语，相互是独立的，即是说，其中的每个术语，都不能由其他术语来定义；条件三，若将这个无定义术语组中的术语结合起来，应足以完全定义出几何学中的所有术语。

于是有人提出新几何学中的公理和定义的关系：从某种意义上可以认为，无证明命题组（即公理组）完全定义了无定义术语的意义，从而可把公里组看成无定义术语的完整的定义。

几何学的性质由无定义术语组和无证明命题组的性质所完全确定的，几何学的基础由无定义术语组和无证明命题组构成。

第6节《建立在新观点上的数学的意义，完整的建立起数学的基础》，主要讲述了希尔伯特把21个命题作为无证明命题组（公理组），并把它们分为5类，分别是结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理和连续公理。连续公理由阿基米德公理和完备公理组成。

作者指出，新几何学的公理组的建立，重点是放在确保数学的严密性上。因此给出了无证明命题组必须满足3个条件：条件一，这组命题相互之间以及由此而推到出来的所有命题之间，不出现矛盾（公理组的无矛盾性）；条件二，这组命题中的任何一个，都不能由其他命题来证明（公理组的独立性）；条件三，用这组命题应足以建立起一门科学（公理组的完备性）。

由像这样得到的一组无定义术语、一组无证明命题组、所有的定理和定义就构成了一个系统，即构成了一门严密而完整的科学。

最后，作者指出，这种科学的本质有两个，一是无定义术语本身，并不具有任何具体的意义，因而由这些术语给出的所有定义，并不具体地指什么东西；二是无证明命题本身并不具体任何真伪性，而由这些命题所导出的所有定理，也不具有任何真伪性。

本周的阅读分享结束了，但是不管是孟老师还是数学组的其他教师，对于数学教学的思考与探索没有结束，期待更多分享老师对数学的思考。

撰稿：孟 圆

审稿：李高淼、张祎宁