【湖畔光影】数学校本研修之阅读分享（62）

又到了每周一次的数学阅读分享，本周给大家分享的是曹方老师，她给大家分享的是《数学的精神、思想和方法》这本书中的第三编、第二章、第1~4节：《数学的新精神、新思想、新方法的好范例》。

第一节讲的是“数学家为解决平行公设煞费苦心两千多年的失败的历史”。欧几里得的平行公设认为：在同一平面内的两条直线与第三条直线相交时，若第三条直线的同一侧的两个内角小于二直角，则前两条直线在内角和小于二直角的一侧相交。数学家们认为它不应该被当作一个公理，而应该作为一个定理给予证明，但没有人成功。

于是有人提出平行线的新定义：莱布尼茨提出平行线就是具有相同方向的直线；杜威提出平行线就是期间的距离处处相等的直线，可是关于这两点都有待商榷的地方。

后来俄罗斯人罗巴切夫斯基和匈牙利人鲍耶，明确了平行公设不能由其他公设来证明。平行公设矛盾的命题：过直线外已知一点，能作无穷多条与已知直线不相交的直线，来取代平行公设，把它与欧几里得其他公设结合起来，推出重重定理，得到了一个由许多定理组成的命题系统，然而它们之间没有矛盾。由此断定：欧几里得的平行公设，不能有另一组公设去证明。由此平行问题得到了解决。

在这个过程中，形成了三种几何学：（1）鲍耶—罗巴切夫斯基几何学；（2）欧几里得几何学；（3）黎曼—克莱因几何学。在研究中人们发现新旧几何学之间存在着密不可分、共同存亡的关系；彼此主张互相矛盾的几何学相辅相成，构成了一大完美的几何学系统，缺其中一种，体系就会产生缺陷。

平行线问题的解决给基础数学发展带来了深远影响：1.关于公理、定义的本质渐渐变得清楚，知道了纯数学的本质是什么，数学的基础发生了很大变化，康托尔说：“纯数学的本质在于思考的充分自由。”它是人类纯思维的产物，只要不包含矛盾，就一定是成立的。这样，数学满足了人类最高远的要求，又有待于自然科学家、哲学家、教育家、实业家把它应用与现实社会；2.数学公理、定义的本质变化，使数学变得更加明显抽象、概括、更加严格了。

本周的阅读分享虽然已经结束，但是留给老师们的思考还没有停止，下一次的阅读分享，会带来哪些新的思维火花碰撞，让我们共同期待。

撰稿：曹 方

审稿：李高淼、张祎宁