【湖畔光影】数学校本研修之阅读分享（61）

本周的数学阅读分享由韦雪老师和大家交流《数学的精神思想方法》中第三编第一章中第四、五节。

第四节的几何学的心理和感觉基础主要分九大板块。由庞加莱关于几何学基础的见解引入，系统分析了感觉精神力量与数学空间的联系。

第六板块中论述变位群及变位群对空间概念的影响。变化A和变化B都是“变位”（反演）时，他们合成的变化也是一种“变位”，这种“变位”的全体所成之集构成一个群，成为“变位群”。变位群中包含空间的等质性（空间中一切点起着相同作用的性质）以及空间的各向同性（从同一点出发的一切方向都起着同等作用的性质）的萌芽。

1. 九板块详细介绍了旋转子群及点和直线概念的根源与旋转群的关系。一个固体绕其中一固定点旋转的情况。物体在不断地旋转，产生的刺激也在不断变化，但定点的影响所触及的神经末梢部分又传送“不变化的同一刺激”。具备一些感觉在改变、一些感觉保持不变的性质的变位群叫旋转群，绕固定点旋转不同角度，构成的群叫“旋转子群”。其中：1.旋转子群是“点概念的根源”。旋转子群构成的集合中，存在两个旋转子群，设g1是以点A为定点的旋转群，g2是以点B为定点的旋转群，则以直线AB为轴的所有旋转即在g1中也在g2中；2.旋转束是“直线概念的根源”。属于2个子群的共同旋转（存在许多以AB为轴的旋转）构成的旋转子群叫旋转束。

第五节——数概念的经验的、直觉的和心理的基础就自然数概念和分数概念产生历史进行了阐述。

心理学家及哲学家关于自然数的意见分两大派：

1. 认为与时间概念有密切关系者，这样的自然数具有顺序数的特点 ，

2. 这样偏重数与时间关系的人称之为计

3. 数主义教授；

4. 认为与空间概念有密切关系者，这样的自然数具有基数的特点，这样偏重数与空间关系的人称之为直观主义教授。

数学家们关于自然数的意见涉及五种观点：

1. 归结为接连的刺激(哈密顿)；
   2.直观地归结为同时共存的事物(赫尔巴特)；
   3.归结为精神的特殊能力(戴德金和韦伯)；
   4.公理法；
   5.纯逻辑式的建设法。

作者认为只要人类的精神及思想非常深入地考虑事物，把考察的锋芒指向普通人不会考虑或认为没有关系的方面，就可能达到目的。

关于分数概念中的量等分问题，作者提出了和书本教材不同的想法。“把3个苹果分给4个小孩，那么每个小孩平均能分得多少个苹果？”教材中通常这样处理：将每个苹果分成4等份，每个小孩取其中的3份。属于等分不连续量的苹果问题。而作者认为当一个保持完整时是苹果，把一个苹果2等份以后称为苹果不妥当，此时应该是4等分一个苹果的质量应属于等分质量这个连续的量。

从以上的简略叙述中不难看到,在分数理论的研究中也与自然数理论的情形一样，可以看到旺盛的研究精神活动，新思想新见解的不断涌现，以及卓越的构造方法和导人方法。不仅如此，在无理数、负数、复数和超复数等的研究中,我们还能够进一步看到更加显著的研究精神活动、更进一 步发展了的研究方法及研究方案。

本周阅读分享虽然已经结束，但是我们的思考在继续，期待下一次的阅读分享。

撰稿：韦 雪

审稿：张祎宁